∫ 1 cos 3 x dx
∫ 1 cos 3 x dx =∫ cosx cos 4 x dx =∫ cosx ( 1− sin 2 x ) 2 dx （∵ cos 2 x = 1 − sin 2 x ）
sinx=t とおいて置換積分を行う．
dt dx =cosx → cosxdx=dt
よって
与式 =∫ 1 ( 1− t 2 ) 2 dt
=∫ 1 ( 1+t ) 2 ( 1−t ) 2 dt
=∫ 1 4 { 1 ( 1+t ) 2 + 1 1+t + 1 ( 1−t ) 2 + 1 1−t }dt
（部分分数に分解する）
= 1 4 { − 1 1+t +log| 1+t |+ 1 1−t −log 1 − t }+C
= 1 4 { −( 1−t )+( 1+t ) ( 1+t )( 1−t ) +log 1+t 1−t }+C
= 1 4 { 2t ( 1+t )( 1−t ) +log 1+t 1−t }+C
= 1 2 ⋅ t 1− t 2 + 1 4 log| 1+t 1−t |+C
= 1 2 ⋅ sinx 1− sin 2 x + 1 4 log| 1+sinx 1−sinx |+C
= 1 2 ⋅ sinx cos 2 x + 1 4 log( 1+sinx 1−sinx )+C
部分積分を用いた解法
∫ 1 cos 3 x dx =∫ 1 cos 2 x ⋅ 1 cosx dx
=( tanx ) 1 cosx −∫ ( tanx ) sinx cos 2 x dx
= sinx cos 2 x −∫ sin 2 x cos 3 x dx
= sinx cos 2 x −∫ 1− cos 2 x cos 3 x dx
= sinx cos 2 x −∫ 1 cos 3 x dx +∫ 1 cosx dx
これより
∫ 1 cos 3 x dx = sinx cos 2 x −∫ 1 cos 3 x dx +∫ 1 cosx dx
∫ 1 cos 3 x dx について整理すると
∫ 1 cos 3 x dx = 1 2 ( sinx cos 2 x +∫ 1 cosx dx )
また
∫ 1 cosx dx = 1 2 log( 1+sinx 1−sinx ) （積分定数は省略している．計算はここを参照）
以上より（積分定数 C を付け加えると）
∫ 1 cos 3 x dx = 1 2 ⋅ sinx cos 2 x + 1 4 log( 1+sinx 1−sinx )+C
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最終更新日：2023年1月30日